美丽的数论世界——狄利克雷频域与黎曼ζ函数的新发现

>举例来说，如果p是自然仅，那么(p) = p - 1。一般来说，我们可以这样举例它：

这个仅组在数论分析和一组论中都有几个最主要的其其本质，但我们现今不有利于研究工作它。

我们现今所需告诉的唯一一件事是是一无性的。

卡罗苏斯仅组μ

默比苏斯仅组在解析数论分析中都也是一个极其最主要的仅组，并且是数论仅组理论模型的核心。

我们用表列方法来举例它：

μ(1)= 1。举例一个序仅n，如果n能被mAnd2自然仅，那么μ(n) = 0。同样，这仅仅如果n能被一个大于1的自然仅的正整仅自然仅，那么μ(n) = 0，因为那个自然仅的平方也能自然仅它。

如果很难无理仅能自然仅n，那么有两种也许：如果能自然仅n的自然仅是奇仅，那么μ(n) = -1；如果能自然仅n的自然仅是个位仅，那么μ(n) = 1。

我们可以表明卡罗苏斯仅组的等价举例：

μ是相乘的，μ的以前几个参仅是：

μ(1)= 1

μ(2)= -1

μ(3)= -1

μ(4)= 0

μ(5)= -1

μ(6)= 1

除仅仅组

古埃及人研究工作了仅的可分性，告诉了令人难忘仅、亲和仅等等。除仅仅组也与解析数论分析中都的狄利克杜仅列理论模型都与。我们在此之后会讲到。

最常被研究工作的两个除仅仅组是：

上述仅组的举例与你所想要的无论如何一致。d算出q的个仅，所以d(3) = 2， d(6) = 4。σ是q和仅组，所以σ(3) = 4， σ(6) = 12。

一般来说，我们可以通过表列方法举例第k个除仅仅组：

纸片两个仅组只是独有情形。都有地，当k=0时，我们获取d；当k=1时，获取σ。

它们都是一无性的，根据纸片的公式，我们可以用讲和的行列式性来结论这个结论结论。无论如何，k可以是比如说迨仅，但这里我们不考量这个。

狄利克杜特有种

有了这些正因如此，我们现今就可以开始带入数论仅组的世界了。如果f和g是数论仅组，那么它们的狄利克杜卷一无就是f * g举例的数论仅组：

同样，这个浮点运算无论如何是对称的，即f*g = g*f，由于行列式浮点运算是对称的，因此f(m)g(k)和f(k)g(m)都将于是又次出现今和中都。你也可以想要到，如果d是n的除仅，那么n/d也是。

其中都I是纸片举例的张成仅组。事实上，这就是它被称之为“同一性”的原因。

这很古怪，因为现今我们可以说下面的说题：

对于数论仅组f是否存在一个仅组g使f*g = I

结果是，如果f(1)≠0，那么f就有一个引（关于狄利克杜卷一无）。这使得所有可引数论仅组的空集视为一个比如说一组，这个比如说一组是整个理论模型的中都心。

同样，纸片μ的举例可以写就μ * u = I，说明μ和u是彼此的引。这些仅组不具引仅组的事实与数论分析中都的一个主要结果都与：

方程（卡罗苏斯变换乘一无）

置f和g是数论仅组。如果：

对于所有的n，那么：

对于所有n。

为了表明这一点。首先，我们用狄利克杜卷一无来重述它。这个方程说：

如果f = g * u，那么g = f * μ。

如果f = g * u那么f * μ = (g * u) * μ = g * (u * μ) = g * I = g。

证毕。

这是一个单纯的表明，雅致而甜美。这个表明举例来说所需更加多的论证和算出。我们还获取了其他一些迷人的结果：

= n * μ，

N = σ * μ

标示出享有盛誉的数论仅组间的彼此间。例如，到最后一个结果，我们有：

N(6) = 6 = σ(1)μ(1) + σ(2)μ(2) + σ(3)μ(3) + σ(6)μ(6) = 1 - 3 - 4 + 12。

狄利克杜仅列

我们还很难只不过涉及到狄利克杜卷一无的起源以及它们为什么如此最主要。其中都一个原因是狄利克杜仅列。狄利克杜仅列是这种多种形式的仅列：

其中都f是一个数论仅组s是一个迨仅据类型。因此，这无论如何是一个迨仅据类型的迨参仅仅组。如果你不适应概率论，你可以把仅据类型s视为一个实仅据类型，因为这不会影响这些算出。

根据这个举例，我们可以算出两个狄利克杜仅列的乘一无来获取这个结果：

狄利克杜仅列的一个极其享有盛誉的都是是这个仅列的数论仅组是的单位仅组u。

在这种情形下，由于u(n) = 1，对于所有n，我们获取狄利克杜仅列：

这是享有盛誉的猜想要ζ仅组ζ(s)，对于Re(s)> 1。

凯莱一无

在17世纪，莱昂曼恩·凯莱找到了一个极佳的彼此间。就其来说，他找到猜想要ζ仅组可以写就仅列的无穷一无。

这就是仅组的凯莱乘一无。结果如下：

置声称所有仅列的空集，使={2,3,5,7,11，…}，则：

在我看来，这是数论中都最仿佛的事实之一。

事实表明，这其实是一个更加都是的独有情形！就其来说，如果f是一个一无性数论仅组，那么我们会获取一个极佳的结果：

左方可以扩张为更加少符号的播放器，如：

通过这个符号，不难看出为什么是这样。纸片的左面是所有序仅的和，所以每个m都应该以f(m)/mAnds的多种形式于是又次出现。我们能从左方表明吗？

同样，如果m有质正整仅分解：

那么：

因为f是一无性的。通过在左方的仅列乘一无中都选择无论如何的项，我们就可以获取f(m)/mAnds。我们可以对狄利克杜仅列中都的任何一项这样要用，这其本质上是数论的基本上方程。

上述结果也称之为凯莱一无。现今记得一下几何仅列及其清空多种形式：如果|x|

于是又欠缺如果一个数论仅组f是无论如何一无性的，即f(nm) = f(n)f(m)对于所有的n，那么f(pAndk) = f(p)Andk。因此，纸片的凯莱乘一无在这种情形下有一个更加单纯的表达式。借助在自然仅乘一无的每个q中都于是又次出现的几何仅列的清空表达式，无论如何一无性仅组的乘一无获取了表列参仅得同样的结果：

因为u是无论如何一无性的，如果我们在纸片的乘一无中都用u本来f，我们就可以获取猜想要ζ仅组的凯莱一无！

一个技术的发展

我们告诉很多仅组是一无性的，所以可以通过它们的凯莱乘一无来研究工作很多有所不同的狄利克杜仅列。

以享有盛誉的卡罗苏斯仅组μ为例。因为μ是一无性的，我们有：

这里最后一个式子组建因为当k≥2时，μ(pAndk) = 0。

这让你想要起什么了吗？这依然就是猜想要ζ仅组除了这个q在分子上而不是分母上。事实上，我们刚刚重现的是：

但是狄利克杜卷一无在哪里呢？有了纸片的结果和卡罗苏斯变换乘一无，我们可以要用一些极其古怪的事情。

置g是一个数论仅组，置f = g * u。

现今，考量表列算出：

。

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